Flächeninhalt und Umfang von Rauten und Drachenvierecken

Flächeninhalt und Umfang von Rauten und Drachenvierecken Übung

• Beschreibe die Eigenschaften der Vierecke.

  Tipps

  Die Symmetrieachse dieses Drachenvierecks verläuft entlang der Diagonalen f.

  Du siehst hier einen Rhombus. Wie nennt man diese geometrische Form noch?

  Lösung

  Weil jede Raute und jedes Quadrat spezielle Drachenvierecke sind, treffen alle Eigenschaften eines Drachenvierecks auch auf jede Raute und jedes Quadrat zu. Ein Quadrat ist zudem eine spezielle Raute, sodass es ebenso auch alle Eigenschaften der Raute erfüllt.

  Ein Drachenviereck

  • besitzt je zwei benachbarte, gleich lange Seiten.
  • ist achsensymmetrisch und die Symmetrieachse verläuft entlang einer der beiden Diagonalen. Die andere Diagonale wird von dieser genau halbiert. Beide Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
  • besitzt somit auch zwei gleich große gegenüberliegende Winkel.

  Eine Raute

  • erfüllt alle Eigenschaften eines Drachenvierecks.
  • besitzt außerdem vier gleich lange Seiten und zwei Symmetrieachsen, die entlang der beiden Diagonalen verlaufen.
  • besitzt zwei Diagonalen, die sich jeweils gegenseitig halbieren.

  Ein Quadrat

  • erfüllt alle Eigenschaften einer Raute und somit auch eines Drachenvierecks.
  • besitzt zusätzlich vier rechte Winkel.
  • besitzt zusätzlich zwei gleich lange Diagonalen, die sich gegenseitig halbieren.

• Gib die passenden Formeln an und berechne die gesuchten Größen.

  Tipps

  Du kannst das Drachenviereck an der Symmetrieachse in zwei gleich große Dreiecke zerlegen. Ein solches Dreieck hat den folgenden Flächeninhalt:

  • $A_{\text{Dreieck}}=\frac 12\cdot f\cdot \frac e2=\frac 14\cdot f\cdot e$

  Wie lautet dann die Formel für den Flächeninhalt des Drachenvierecks?

  Der Umfang ist die Länge der Begrenzungslinie einer Figur, also die Summe aller Seitenlängen.

  Die Fläche von Drachenviereck und Raute berechnest du mit derselben Formel.

  Lösung

  Der Umfang ist die Länge der Begrenzungslinie einer Figur, also die Summe aller Seitenlängen. Für das Drachenviereck erhalten wir also:

  • $U_{\text{Drachenviereck}}=a+a+b+b=2\cdot a+2\cdot b$

  Da die Raute vier gleich lange Seiten hat, lautet die Formel für den Umfang:

  • $U_{\text{Raute}}=a+a+a+a=4\cdot a$

  Die Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks erhalten wir, indem wir das Drachenviereck an der Symmetrieachse in zwei gleich große Dreiecke teilen. Ein solches Dreieck hat folgenden Flächeninhalt:

  • $A_{\text{Dreieck}}=\frac 12\cdot f\cdot \frac e2=\frac 14\cdot f\cdot e$

  Das Doppelte dieser Fläche ist dann der Flächeninhalt des Drachenvierecks und auch der Raute, da man bei der Raute genauso vorgeht. Für beide folgt:

  • $A=2\cdot \frac 14\cdot f\cdot e=\frac 12\cdot f\cdot e$

  Damit erhalten wir dann folgende Rechnungen:

  Drachenviereck

  $U=2\cdot 2,6\ \text{cm}+2\cdot 7,4\ \text{cm}=5,2\ \text{cm}+14,8\ \text{cm}=20\ \text{cm}$

  $A=\frac 12\cdot 8\ \text{cm}\cdot 4,8\ \text{cm}=19,2\ \text{cm}^2$

  Raute

  $U=4\cdot 5,1\ \text{cm}=20,4\ \text{cm}$

  $A=\frac 12\cdot 9\ \text{cm}\cdot 4,8\ \text{cm}=21,6\ \text{cm}^2$

• Bestimme jeweils den Flächeninhalt der Vierecke.

  Tipps

  Der Flächeninhalt entspricht der Hälfte des Produkts der beiden Diagonalen.

  Bei einem Quadrat sind beide Diagonalen gleich lang.

  Lösung

  Den Flächeninhalt berechnen wir mit der Formel:

  $A=\frac 12\cdot e\cdot f$

  Da bei dem Quadrat $f=e$ gilt, vereinfacht sich die Formel für das Quadrat zu:

  $A=\frac 12\cdot e^2$

  Damit erhalten wir die folgenden Berechnungen:

  Beispiel 1

  Gegeben ist eine Raute mit $e=4\ \text{cm}$ und $f=12\ \text{cm}$. Für den Flächeninhalt gilt:

  $A=\frac 12\cdot 4\ \text{cm}\cdot 12\ \text{cm}=24\ \text{cm}^2$

  Beispiel 2

  Gegeben ist ein Drachenviereck mit $e=4\ \text{cm}$ und $f=8\ \text{cm}$. Für den Flächeninhalt gilt:

  $A=\frac 12\cdot 4\ \text{cm}\cdot 8\ \text{cm}=16\ \text{cm}^2$

  Beispiel 3

  Gegeben ist eine Raute mit $e=6\ \text{cm}$ und $f=4\ \text{cm}$. Für den Flächeninhalt gilt:

  $A=\frac 12\cdot 6\ \text{cm}\cdot 4\ \text{cm}=12\ \text{cm}^2$

  Beispiel 4

  Gegeben ist ein Quadrat mit $e=6\ \text{cm}$. Für den Flächeninhalt gilt:

  $A=\frac 12\cdot (6\ \text{cm})^2=18\ \text{cm}^2$

• Ermittle jeweils den Umfang und den Flächeninhalt der Vierecke.

  Tipps

  Der Umfang entspricht der Länge der Begrenzungslinie einer ebenen Figur.

  Eine Raute besitzt vier gleich lange Seiten. Ein Drachenviereck besitzt je zwei benachbarte gleich lange Seiten.

  Lösung

  Der Umfang einer ebenen Figur entspricht der Länge ihrer Begrenzungslinie. Hierzu addieren wir also alle Seitenlängen der ebenen Figur. Damit gilt:

  • Drachenviereck: $~U=a+a+b+b=2\cdot a+2\cdot b$
  • Raute: $~U=a+a+a+a=4\cdot a$

  Den Flächeninhalt erhalten wir für beide Vierecksarten mit:

  • $A=\frac 12\cdot e\cdot f$

  Wir erhalten damit die folgenden Berechnungen:

  Beispiel 1

  Gegeben ist eine Raute mit $a=5\ \text{cm}$, $e=8\ \text{cm}$ und $f=6\ \text{cm}$. Damit folgt:

  • $U=4\cdot 5\ \text{cm}=20\ \text{cm}$
  • $A=\frac 12 \cdot 8\ \text{cm}\cdot 6\ \text{cm}=24\ \text{cm}^2$

  Beispiel 2

  Gegeben ist ein Drachenviereck mit $a=4,2\ \text{cm}$, $b=5\ \text{cm}$, $e=6\ \text{cm}$ und $f=7\ \text{cm}$. Damit folgt:

  • $U=2\cdot 4,2\ \text{cm}+2\cdot 5\ \text{cm}=18,4\ \text{cm}$
  • $A=\frac 12 \cdot 6\ \text{cm}\cdot 7\ \text{cm}=21\ \text{cm}^2$

  Beispiel 3

  Gegeben ist eine Raute mit $a=8,6\ \text{cm}$, $e=14\ \text{cm}$ und $f=10\ \text{cm}$. Damit folgt:

  • $U=4\cdot 8,6\ \text{cm}=34,4\ \text{cm}$
  • $A=\frac 12 \cdot 14\ \text{cm}\cdot 10\ \text{cm}=70\ \text{cm}^2$

• Berechne den Flächeninhalt des Quadrats mithilfe der Diagonalen.

  Tipps

  Du kannst das Quadrat wie dargestellt zerlegen. Den Flächeninhalt eines solchen Dreiecks erhältst du, indem du das Produkt aus Grundseite und Höhe halbierst.

  Zwei dieser Dreiecksflächen ergeben den Flächeninhalt des Quadrats.

  Es gilt $e\cdot e=e^2$.

  Lösung

  Sind die Seiten $a$ eines Quadrats gegeben, so können wir den Flächeninhalt eines Quadrats wie folgt berechnen:

  • $A=a^2$

  Da wir hier aber nur die Länge der beiden Diagonalen kennen, benötigen wir eine Formel für den Flächeninhalt, die nur von der Diagonalen $e$ abhängig ist. Hierzu zerlegen wir das Quadrat wie hier dargestellt in zwei gleich große Dreiecke. Den Flächeninhalt eines solchen Dreiecks erhalten wir, indem wir das Produkt aus dessen Grundseite und Höhe halbieren. Die Grundseite ist hier $e$ und die Höhe $\frac e2$. Wir erhalten dann:

  • $A_{\text{Dreieck}}=\frac 12 \cdot e\cdot \frac e2=\frac 14\cdot e^2$

  Das Doppelte dieser Fläche entspricht dem Flächeninhalt des Quadrats, also:

  • $A_{\text{Quadrat}}=2\cdot\frac 14\cdot e^2=\frac 12\cdot e^2$

  Damit folgt:

  • $A_{\text{Quadrat}}=\frac 12\cdot (8\ \text{cm})^2=\frac 12\cdot 64\ \text{cm}^2=32\ \text{cm}^2$

• Erschließe die minimale und maximale Zaunlänge.

  Tipps

  Ein Drachenviereck hat zwei Paar gleich lange Seiten. Die gleich langen Seiten liegen sich nicht gegenüber.

  An welchen beiden Seiten müsste man den Zaun anbringen, damit er am kürzesten ist?

  Für welche zwei Seiten erhältst du den längsten Zaun?

  Mithilfe des Umfangs und einer gegebenen Seitenlänge kannst du die anderen Seitenlängen des Drachenvierecks ausrechnen.

  Lösung

  Da ein Drachenviereck zwei Paar gleich lange, benachbarte Seiten hat, können wir direkt annehmen, dass die beiden kürzeren Seiten des Drachenvierecks je $6\ \text{m}$ lang sind. Wir können nun diese beiden Seiten vom Umfang abziehen und die Differenz durch zwei teilen. So erhalten wir die Länge der beiden längeren Seiten des Drachenvierecks:

  $(38\ \text{m} - 2\cdot 6\ \text{m}):2 = 13\ \text{m}$

  Für die beiden längeren Seiten erhalten wir somit je $13\ \text{m}$. Damit folgt für die minimale und maximale Zaunlänge:

  $L_{\text{min}}=2\cdot 6\ \text{m}=12\ \text{m}$

  $L_{\text{max}}=2\cdot 13\ \text{m}=26\ \text{m}$